Fonction d'ombrage

La fonction d'ombrage $f$ est une fonction continue à valeurs réelles définie sur la sphère unité de $\mathbb{R}^{3}$ et représentant la visibilité du point :

$$f:[0,2\pi]\times[-\pi,\pi]\mapsto[0,1]$$

$f(\alpha,\beta)=\begin{cases} 1 & \textrm{si le point est visible dans la direction }(\alpha,\beta)\\ 0 & \textrm{dans le cas contraire}\end{cases}$

En pratique, nous discrétisons l'ensemble des directions en discrétisant les angles $\alpha$ et $\beta$ sur $N$ intervalles.

Pour chaque direction discrétisée de l'hémisphère supérieur nous effectuons un lancer de rayons afin de calculer la valeur de $f$. Ces valeurs sont recopiées dans l'hémisphère inférieur par symétrie par rapport au centre de la sphère.

Finalement, nous obtenons un tableau à deux dimensions $(u,v)$ stockant les valeurs discrètes de $f$. C'est à dire :

$$f(\alpha,\beta)=f(u\Delta\alpha,v\Delta\beta)\equiv f(u,v)$$ (B.1)

Pour pouvoir appliquer la transformée de Fourier discrète en deux dimensions, nous utilisons un support carré pour $f$ (i.e. $N\times N$).